参考文献

规则进动矢量的若干性质 - 周国全

基本是对论文的抄写，没有新的内容。

规则进动的定义

规则进动，是在理论力学中讨论对称重力陀螺的角动量的变化规律时引进的一个概念。

在定点快速自转的陀螺绕过定点的铅直轴匀角速地旋进，并与铅直轴保持不变的夹角——这一夹角称为章动角。

保持章动角不变的匀角速旋进因此而被称为规则进动。

角动量的规则进动有其自身的动力学基础——欧拉旋转定理

但特定的物理矢量服从特定的物理规律。本文撇开一个任意矢量赖以发生进动的动力学原因，而着力讨论一个物理或数学的矢量发生规则进动的判定法则， 并给出规则进动矢量的几个性质。

规则进动的判定法则

我可以给出矢量 P\mathbf{P} 以角速度 ω\omega 在 SS 系中作规则进动的充要条件

dPdt=ω×P\frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t} = \omega \times \mathbf{P}

证明略。

规则进动的若干性质

（1）具有进动角速度 ω\omega 的两规则进动矢量的线性组合仍然是一规则进动矢量

证明：

由于

dP1dt=ω×P1,dP2dt=ω×P2\frac{\mathrm{d} \mathbf{P_1}}{\mathrm{d} t} = \omega \times \mathbf{P_1}, \frac{\mathrm{d} \mathbf{P_2}}{\mathrm{d} t} = \omega \times \mathbf{P_2}

因此

d(c1P1+c2P2)dt=c1dP1dt+c1dP1dt=c1ω×P1+c2ω×P2=ω×(c1P1+c2P2)\begin{split} \frac{\mathrm{d} (c_1\mathbf{P_1}+c_2\mathbf{P_2})}{\mathrm{d}t} &= c_1\frac{\mathrm{d} \mathbf{P_1}}{\mathrm{d} t}+c_1\frac{\mathrm{d} \mathbf{P_1}}{\mathrm{d} t} \\ &= c_1 \omega \times \mathbf{P_1} + c_2 \omega \times \mathbf{P_2} \\ &= \omega \times (c_1\mathbf{P_1}+c_2\mathbf{P_2}) \end{split}

由判定法则可得，c1P1+c2P2c_1 \mathbf{P_1}+c_2 \mathbf{P_2} 也是一规则进动矢量

（2）具有相同进动角速度 ω\omega 的两个规则进动矢量的矢积也是一规则进动矢量

证明：

d(P1×P2)dt=P1×dP2dt+dP1dt×P2=P1×(ω×P2)+(ω×P1)×P2=(P1⋅P2)ω−(P1⋅ω)P2−(P2⋅P1)ω+(P2⋅ω)P1=(ω⋅P2)P1−(ω⋅P1)P2=ω×(P1×P2)\begin{split} \frac{\mathrm{d} (\mathbf{P_1}\times\mathbf{P_2})}{\mathrm{d}t} &= \mathbf{P_1}\times\frac{\mathrm{d} \mathbf{P_2}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d} \mathbf{P_1}}{\mathrm{d} t}\times\mathbf{P_2}\\ &= \mathbf{P_1}\times(\omega\times\mathbf{P_2})+(\omega\times\mathbf{P_1})\times\mathbf{P_2}\\ &= (\mathbf{P_1}\cdot\mathbf{P_2})\omega-(\mathbf{P_1}\cdot\omega)\mathbf{P_2}-(\mathbf{P_2}\cdot\mathbf{P_1})\omega+(\mathbf{P_2}\cdot\omega)\mathbf{P_1}\\ &= (\omega\cdot\mathbf{P_2})\mathbf{P_1}-(\omega\cdot\mathbf{P_1})\mathbf{P_2}\\ &= \omega\times(\mathbf{P_1}\times\mathbf{P_2}) \end{split}

由判定法则可得，P1×P2\mathbf{P_1}\times\mathbf{P_2} 也是一规则进动矢量

（3）具有相同进动角速度 ω\omega 的两个规则进动矢量的标积是一不变的常标量

证明：

d(P1⋅P2)dt=P1⋅dP2dt+dP1dt⋅P2=P1⋅(ω×P2)+(ω×P1)⋅P2=ω⋅(P2×P1)+ω⋅(P1×P2)=ω⋅[(P2×P1)+(P1×P2)]=0\begin{split} \frac{\mathrm{d} (\mathbf{P_1}\cdot\mathbf{P_2})}{\mathrm{d}t} &= \mathbf{P_1}\cdot\frac{d\mathbf{P_2}}{dt}+\frac{d\mathbf{P_1}}{dt}\cdot\mathbf{P_2}\\ &= \mathbf{P_1}\cdot(\omega\times\mathbf{P_2})+(\omega\times\mathbf{P_1})\cdot\mathbf{P_2}\\ &=\omega\cdot(\mathbf{P_2}\times\mathbf{P_1})+\omega\cdot(\mathbf{P_1}\times\mathbf{P_2}) \\ &= \omega\cdot[(\mathbf{P_2}\times\mathbf{P_1})+(\mathbf{P_1}\times\mathbf{P_2})]\\ &= 0 \end{split}

故 (P1⋅P2)(\mathbf{P_1}\cdot\mathbf{P_2}) 是常标量。

（4）轴向常矢量与任一规则进动矢量的线性组合也是一规则进动矢量

证明：

设 Q\mathbf{Q} 是一轴向常矢量，即 Q∥ω\mathbf{Q}\parallel\omega，又 P\mathbf{P} 是规则进动矢量 dPdt=ω×P\dfrac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\omega\times\mathbf{P}，则 P\mathbf{P} 与 Q\mathbf{Q} 的线性组合 c1P+c2Qc_1\mathbf{P}+c_2\mathbf{Q} 满足

ddt(c1P+c2Q)=c1dPdt+c2dQdt=c1dPdt(∵dQdt=0)\begin{split} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(c_1\mathbf{P}+c_2\mathbf{Q}) &= c_1\frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}+c_2\frac{\mathrm{d} \mathbf{Q}}{\mathrm{d} t} \\ &= c_1\frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}(\because \frac{\mathrm{d}\mathbf{Q}}{\mathrm{d} t} = 0) \end{split}

ω×(c1P+c2Q)=c1(ω×P)+c2(ω×Q)=c1dPdt(∵ω×Q=0)\begin{split} \omega\times(c_1\mathbf{P}+c_2\mathbf{Q}) &=c_1(\omega\times\mathbf{P})+c_2(\omega\times\mathbf{Q})\\ &=c_1\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}(\because \omega\times\mathbf{Q}=0) \end{split}

所以

ddt(c1P+c2Q)=ω×(c1P+c2Q)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(c_1\mathbf{P}+c_2\mathbf{Q})=\omega\times(c_1\mathbf{P}+c_2\mathbf{Q})

于是 c1P+c2Qc_1\mathbf{P}+c_2\mathbf{Q} 也是规则进动矢量。

（5）轴向常矢量与规则进动矢量的矢积也是一规则进动矢量

证明：

设 Q∥ω\mathbf{Q}\parallel\omega 且 Q=cω\mathbf{Q}=c\omega 是一常矢量，其中 cc 是一常量，P\mathbf{P} 满足 dPdt=ω×P\dfrac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}=\omega\times\mathbf{P}

则

d(Q×P)dt=d(cω×P)dt=cd(ω×P)dt=cdωdt×P+cω×dPdt=0+cω×(ω×P)=ω×(cω×P)=ω×(Q×P)\begin{split} \frac{\mathrm{d}(\mathbf{Q}\times\mathbf{P})}{\mathrm{d}t} &= \frac{\mathrm{d}(c\omega\times\mathbf{P})}{\mathrm{d}t} \\ &= c\frac{\mathrm{d}(\omega\times\mathbf{P})}{\mathrm{d}t} \\ &= c\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}\times\mathbf{P}+c\omega\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t} \\ &= 0+c\omega\times(\omega\times\mathbf{P}) \\ &= \omega\times(c\omega\times\mathbf{P}) \\ &= \omega\times(\mathbf{Q}\times\mathbf{P}) \end{split}

于是 Q×P\mathbf{Q}\times\mathbf{P} 也是一规则进动矢量。

进一步的推论为 ω×[ω×⋯×(ω×P)]\omega\times[\omega\times\cdots\times(\omega\times\mathbf{P})] 都是规则进动矢量

（6）规则进动矢量的时间变化率也是规则进动矢量

证明：

ddt(dPdt)=ddt(ω×P)=ω×(dPdt)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\omega\times\mathbf{P})=\omega\times\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t}\right)

所以 dPdt\dfrac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t} 也是一规则进动矢量

进一步的推论为 P\mathbf{P} 的任意阶导数 dnPdtn\dfrac{\mathrm{d}^n \mathbf{P}}{\mathrm{d} t^n} 也是一规则进动矢量。

注意：P\mathbf{P} 的积分矢量不一定是一规则进动矢量。