HyperPhysics 对相空间的解释

Phase Space (gsu.edu): a Framework for Statistics.

统计学涉及到状态的计数，经典粒子的状态完全由其位置和动量的测量来确定。如果我们知道这六个量

我们就知道了系统的状态。

一个由六个位置和动量坐标组成的六维空间通常被称为“相空间”。相空间中的每个点对应于特定的位置和动量。也就是说，相空间中的每个点都表示粒子的唯一状态。粒子系统的状态对应于相空间中点的特定分布。

粒子可用状态数 的计数相当于确定 相空间中的可用体积。

有人可能会想，对于连续的相空间，任何有限的体积都会包含无限多个状态。但不确定性原理告诉我们，我们不能同时知道位置和动量，所以我们不能真正说粒子处于相空间的数学点。所以当我们考虑相空间中的“体积”时

那么我们可以考虑的相空间中最小的“单元”被不确定性原理约束为

参考知乎回答一

牛顿第二定律

是一个二阶微分方程。通过定义

把二阶微分方程简化为一阶微分方程组。此时，解微分方程组需要的初始条件就是体系的初始位移和初始速度。

因此，对于一个已知运动的质点，其运动轨迹就应该由六个参数来标定

这几个参数张开的空间，就是一种 相空间。

去表示一个 6-dim 的相空间是很困难的，我们通常选取某几个 坐标 (或者它们的线性组合) 来作图出轨迹，这样做出来的图叫做庞加莱截面。

参考知乎回答二

关于相空间这个重要的 数学 / 物理 概念的历史故事：The tangled tale of phase space | Physics Today | AIP Publishing

  • 数学家 Liouville 在 1837 年提出了有关于常微分方程的 Liouville 定理，但那时候的定理与物理无关。
  • 1873 年，Boltzmann 用了 Bewegungsart 和 Bewegungsphase 两个字来区分 运动的 kind 和 phase。kind 表示平动、转动、振动等，phase 表示坐标和动量数值的改变。
  • 1907 年，Felix Klein 编写数学大百科全书，想要总结 Boltzmann 的工作，但是后者已经自尽身亡，就找来他的学生 P. Ehrenfest，写下了名著 The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics，书里第一次用了 Phasenraum，也就是 phase space，相空间。这里 Paul 还发明了 -空间等常用名词。显然，“相”指的是现代的概念 state，而跟波函数/复变量的相位没有任何关系。

陶哲轩对于相空间的理解 phase_space.pdf (ucla.edu)

具有正则辛形式的 (构型空间中流形的余切丛)，Nice and Accurate.