参考内容

自发对称性破缺 (Spontaneous Symmetry Breaking)

以一维自旋链为例，序参量是磁矩 ，外场是磁场 。自旋链上的格点的自旋可以上下翻转，翻转需要付出能量。

高温下，自旋链上格点的动能高于翻转能垒，每个格点的自旋可以上下翻转，自旋链是无序的。宏观来看，整个系统磁矩为零，具有较高对称性。

如果施加一个外磁场，只要外场足够大，大于热涨落的程度，整个系统就会呈现出总体的磁性，对称性减小。温度越低，破坏对称性需要的外加磁场越小。

当温度低于临界温度时，热涨落不足以克服自旋的翻转能垒，此时即使撤去外加磁场，整个系统仍然保持低对称性。

在外加磁场趋于零的极限下，整个系统呈现出“只要温度降低到临界温度以下，对称性就自动降低”的性质。这就是“自发”对称破缺了。

Coleman 用铁磁体讲 SSB 的例子

the standard terminology is unfortunate, we don't describe the symmetry as hidden (by hidden he means the Hamilton possesses such symmetry while the ground state doesn't), instead we call this situation ssb.

In some sense we're the man in the ferromagnet, our symmetry is broken by the ferromagnet but the whole universe still has it. Such symmetry can be restored by going high energy or high temperature.

固体的有序度

在学习晶体、非晶体的时候，你一定见到过类似下面的描述

  • 晶体：长程有序
  • 非晶体：长程无序，短程有序

晶体的有序性可以用，positional order 与 bond order 来描述，positional order 与 bond order 可以用关联函数 来定义，可以表示了相距 的两点之间的关联程度

  • 若 时，，说明长程无序
  • 若 时，，说明长程有序

三维固体的 positional order 与 bond order 都是长程的；三维液体的 positional order 与 bond order 都是短程的，在 时，关联函数指数衰减。

三维的固体都有长程序 (long range order)，而二维的固体，并没有长程序。

Mermin-Wagner 定理

在维度 具有足够短距离相互作用的系统中，连续对称性在有限温度下不能自发打破。直观地说，这意味着可以用很少的能量消耗产生长程涨落，而且由于它们增加了熵，因此受到青睐。这是因为，如果发生这种自发的对称性破坏，那么相应的 Goldstone 玻色子，在没有质量的情况下，将具有红外发散相关函数。David Mermin 和 Herbert Wagner (1966) 在统计力学中引用了 Pierre Hohenberg (1967 年晚些时候发表) 的一个更普遍的未发表的证明，严格证明了 维无限系统中不存在自发对称性破缺。它后来也被 Sidney Coleman (1973) 重新表述为量子场论。可以在二维伊辛模型中看到，该定理不适用于离散对称性。

如果场是一个角度 ，就像在墨西哥帽模型中那样，复场 有一个期望值但在 方向上可以自由滑动，那么在较大距离处角度 将是随机的。这就是 Mermin-Wagner 定理：在二维中不存在连续对称性的自发破缺。

理论背景由 D. Cassi, as well as F. Merkl and H. Wagner 给出。这项工作分析了随机行走和自发对称性破坏在不同维度上的复发概率。一维和二维随机行走的有限递归概率显示出与一维和二维缺乏完美长程有序性的二重性对应，而三维随机行走的递归概率趋于零与完美长程有序性的存在以及对称性破缺的可能性是对偶的。

二维的固体没有长程序

在二维中，连续对称性的自发破缺，对应于长程的 positional order；不存在连续对称性的自发破缺，就意味着二维的固体没有长程序。但是二维固体没有长程序不等同于二维液体。虽然二维固体的 positional order 不是长程的——在 时，关联函数有衰减，但不同于指数衰减，二维固体的 positional order 衰减的比较慢。这种有序度，我们称之为准长程 (quasi long-range)。