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KTHNY 理论描述了二维晶体的熔化过程。该名称来源于 John Michael Kosterlitz, David J. Thouless, Bertrand Halperin, David R. Nelson, and A. Peter Young 的姓氏首字母缩写，他们于 20 世纪 70 年代提出了这一理论。它是除了二维 Ising 模型和二维 XY 模型之外，少数可以解析求解，并预测温度 T>0T>0 时相变的理论之一。

主要思想

二维晶体的熔化是由拓扑缺陷的离解介导的，这会破坏晶体的有序性。2016 年，Michael Kosteritz 和 David Thouless 因其发明而获得诺贝尔物理学奖，该发明解释了热激发的虚位错对如何在加热过程中引起晶体软化 (由重整化群理论描述)。剪切弹性随着位错的分离而同时消失，表明存在流体相。基于这项工作，David Nelson 和 Bertrand Halperin 表明，由此产生的六角相 (hexatic phase) 尚未成为各向同性流体。从六方晶体 (2D 中的最密堆积) 开始，六角相具有六重对称的取向场，类似于液晶。取向序仅因第二类拓扑缺陷 (topological defects) —— 向错 (disclination) —— 的解离而消失。Peter Young 计算了在晶体和六角相之间转变时发散相关性长度的临界指数。KTHNY 理论预测了两个连续相变，从而排除了相变潜热和两相共存的可能性。热力学相可以根据离散或连续的平移序 (translation order) 和取向序 (orientational order) 来区分。其中一个相变是将具有准长程的平移序和完美长程的取向序的固相与六角相分离。六角相表现出短程平移序和准长程的取向序。第二个相变将六角相与各向同性流体分离，其中平移序和取向序都是短程的。

这几行是我自己加的：

固相：准长程的 (quasi-long range, QLR) 平移序 + 完美的长程取向序

六角相：短程平移序 + 准长程的取向序

液相：各向同性 (isotropic)，平移序、取向序都是短程的

该系统受临界涨落 (critical fluctuations) 主导，因为对于连续相变，热力学相之间的能量差在相变点附近消失。这意味着有序区域和无序区域在空间和时间上会发生强烈涨落。这些区域的尺寸在相变点附近急剧增大，并在相变点处发散。在这一点处，对称性破缺与对称域的模式是分形的 (fractal)。分形的特点是标度不变性——它们在任意尺度上或任意放大时看起来都相似 (这在任何大于原子距离的尺度上都是正确的)。标度不变性是利用重整化群理论描述相变的基础。这两种转变都伴随着自发对称性破缺。与三维熔化不同，平移和取向对称性破坏不需要在二维中同时出现，因为两种不同类型的拓扑缺陷会破坏不同类型的序。

背景

Michael Kosterlitz 和 David Thouless 试图解决关于二维晶体的一个矛盾：一方面，Mermin-Waggner 定理声称，连续序参量的对称性破缺不可能存在于二维中。这意味着，在二维晶体中完美的长程位置序不可能存在。另一方面，Berni Alder 和 Thomas E. Wainwright 的早期计算机模拟表明，二维中存在结晶现象。KTHNY 理论隐含地表明，周期性不是固体的必要标准 (这已经由玻璃等无定形固体的存在展露)。在 M. Kosterlitz 之后，有限剪切弹性定义了二维的固体，包括准晶体。

二维的结构因子

所有三个热力学相及其相应的对称性都可以使用结构因子可视化：

S(q⃗)=1N⟨∑i,je−iq⃗⋅(r⃗i−r⃗j)⟩S(\vec{q}) = \frac{1}{N} \left\langle \sum_{i,j} e^{-i \vec{q} \cdot (\vec{r}_i - \vec{r}_j)} \right\rangle

双重求和遍历了粒子 i 和 j 的所有位置，括号表示各种位型的平均值。

各向同性相的特征是，在 q=2π/aq=2\pi/a 处有同心圆环，其中 a=1/ρa=1/\sqrt{\rho} 是由二维粒子密度 ρ\rho 计算得到的平均粒子间距。结晶相 (密堆积相) 的特征是基于取向序的六重对称性。与三维情况不同，三维的峰值是任意尖锐的 (δ\delta-峰)，二维峰值具有有限的宽度，可以用洛伦兹曲线描述。这是因为平移序只是准长程的，正如 Mermin-Wagner 定理所预测的那样。六角相由六个部分识别，反映了准长程的取向序。

位错间的相互作用

为了分析由位错离解而引起的熔化，我们从能量 HlocH_{loc} 作为两个位错之间距离的函数开始考虑。二维中的孤立位错是六重晶格的局部扭曲，其中粒子有五个和七个最近邻粒子，而不是六个。需要注意的是，由于拓扑原因，位错只能成对产生。位错的束缚对是一个分别具有 5-7-7-5 个最近邻粒子的局部构型。

Hloc=−a2Y8π∑k≠l[b⃗(r⃗k)⋅b⃗(r⃗l)ln⁡Δr⃗k,la−[b⃗(r⃗k)⋅Δr⃗k,l][b⃗(r⃗l)⋅Δr⃗k,l]Δri,j2]+Ec⋅NlocH_{loc} = -\frac{a^2 Y}{8 \pi} \sum_{k \neq l} \left[\vec{b}(\vec{r}_k) \cdot \vec{b}(\vec{r}_l) \ln \frac{\Delta \vec{r}_{k,l}}{a} - \frac{[\vec{b}(\vec{r}_k) \cdot \Delta \vec{r}_{k,l}] [\vec{b}(\vec{r}_l) \cdot \Delta \vec{r}_{k,l}]}{\Delta r_{i,j}^2}\right] + E_c \cdot N_{loc}

两重求和遍历了缺陷对 kk 和 ll 的所有位置。Δr\Delta r 表示了位错之间的位移。b⃗\vec{b} 是 Burgers 矢量，表示 Orte r⃗k\vec{r}_k 处位错的方向。括号中的第二项表示，由于能量原因，位错优先反平行排列。由于缺陷之间的距离较大，其贡献很小，可忽略不计。主要贡献来自于对数项 (括号中的第一项)，它描述了位错对的能量如何随着距离的增加而发散。由于两个位错之间的最短距离近似地由平均粒子距离 aa 给出，距离对于 aa 的缩放阻止了对数 ln⁡Δr⃗k,la\ln \frac{\Delta \vec{r}_{k,l}}{a} 变为负数。相互作用的强度与杨氏模量 YY 成正比，由晶格的刚度给出。为了从未受干扰的晶格中产生位错，需要比平均粒子距离 aa 更小尺度的位移。与这种位移相关的离散能量通常称为核心能量 EcE_c，并且必须对每个 NlocN_{loc} 位错单独计数 (最后一项)。

对数项主导的一个简单论证是，孤立位错引起的应变大小以 ∝1r\propto \frac{1}{r} 的形式衰减。假设胡克近似，相关应力与应变呈线性关系。对应变 (∼1/r\sim 1/r) 进行积分，得到与对数成比例的能量。能量的对数依赖距离是 KTHNY 理论成为为数不多的可以解析求解的相变理论之一的原因：在统计物理学中，必须计算配分函数，例如由玻尔兹曼分布 eHlockBTe^{\frac{H_{loc}}{k_B T}} 给出的位错对所有可能位型的概率分布。这里，kBTk_B T 是具有玻尔兹曼常数 kBk_B 的热能。对于统计物理中的大多数问题，由于粒子和自由度的数量巨大，因此很难求解配分函数。在 KTHNY 理论中，情况有所不同，因为位错的能量函数 HlocH_{loc} 是对数的形式，和来自玻尔兹曼因子的 ee 指数函数互为逆函数，可以很容易地求解。

例子

为了简单起见，我们只想考虑主导的对数项来计算两个位错之间的均方距离：

⟨r2⟩=∫r2⋅e−Yaln⁡(r/a)4πkBTd2r∫e−Yaln⁡(r/a)4πkBTd2r∼2−Y⋅a4πkBT4−Y⋅a4πkBT\langle r^2 \rangle = \frac{\int r^2 \cdot e^{-\frac{Ya \ln(r/a)}{4\pi k_B T}}d^2r}{\int e^{-\frac{Ya \ln(r/a)}{4\pi k_B T}}d^2r} \sim \frac{2-\frac{Y\cdot a}{4\pi k_B T}}{4-\frac{Y\cdot a}{4\pi k_B T}}

⟨r2⟩→0\langle r^2 \rangle \to 0 均方距离在低温下趋于零——位错将会消失，晶体中没有缺陷。如果分母趋向于零，表达式 ⟨r2⟩→∞\langle r^2 \rangle \to \infty。发生这种情况时，Y⋅a4πkBT=4\frac{Y\cdot a}{4\pi k_B T} = 4。位错之间的发散距离意味着，它们分离并且没有形成结合对。如果几个孤立的位错受到热激发，并且熔化温度 TmT_m 由杨氏模量给出：

Y⋅akBTm=16π\frac{Y \cdot a}{k_B T_m} = 16 \pi

无量纲量 16π16\pi 是二维熔化的通用常数，与所研究系统的细节无关。本例仅研究了一对孤立的位错。一般而言，熔化过程中会出现大量位错。孤立位错的应变场将被屏蔽，晶体在相变附近会变软；杨氏模量会因位错而下降。在 KTHNY 理论中，位错对弹性的反馈，尤其是对作为能量函数中的耦合常数的杨氏模量的反馈，是在重整化群理论的框架内描述的。

弹性的重整化

如果加热二维晶体，由于相变附近的热涨落，虚位错对将被激发。虚位错指的是，平均热能不够大，不足以克服 (两倍于) 核心能量并解离 (解绑) 位错对。尽管如此，由于热涨落，位错对可以在非常短的时间尺度上局部出现，然后再次湮灭。尽管它们会湮灭，但它们对弹性有可察觉的影响：它们使晶体变软。这个原理完全类似于在量子电动力学 (QED) 中计算电子的裸电荷。在 QED 中，由于真空的量子涨落，电子的电荷会被虚电子-正电子对屏蔽。粗略地说，可以总结如下：如果晶体由于虚位错对的存在而软化，则产生额外虚位错的概率 (逸度) yy 会增加，与位错的核心能量的玻尔兹曼因子 y=eECkBTy=e^{\frac {E_{C}}{k_{B}T}} 成比例。如果存在额外的 (虚) 位错，晶体将变得更软。如果晶体进一步变软，逸度将进一步增加。David Nelson、Bertrand Halperin 和 Peter Young 以数学上精确的方式，利用逸度和弹性的重整化群理论，对此进行了阐述：在连续相变的附近，系统变得临界——这意味着它在所有 ≫a\gg a 的长度尺度上都呈自相似性。通过将所有长度按因子 ll 缩放，能量 E→E(l)E \to E(l) 和逸度 y→y(l)y\to y(l) 将依赖于这个因子，但由于自相似性，系统必须同时保持不变。特别是位错的能量函数 (哈密顿量) 在结构上必须保持不变。在长度尺度变换 (缩小以可视化更大的区域意味着计算更多的位错) 后，系统的软化现在被重整化的 (约化的) 弹性所描述。弹性和逸度的递归关系为：

dY−1(l)dl=32πy2eY(l)/8πI0(Y(l)/8π)−34πy2eY(l)/8πI1(Y(l)/8π)\frac{dY^{-1}(l)}{dl} = \frac{3}{2} \pi y^2 e^{Y(l)/8\pi} I_0 \left(Y(l)/8 \pi\right) - \frac{3}{4} \pi y^2 e^{Y(l)/8\pi} I_1 \left(Y(l)/8 \pi\right)

dy(l)dl=(2−Y(l)8π)y(l)+2πy2eY(l)/16πI0(Y(l)/8π)\frac{dy(l)}{dl} = \left(2-\frac{Y(l)}{8 \pi}\right) y(l) + 2 \pi y^2 e^{Y(l)/16\pi} I_0 \left(Y(l)/8 \pi\right)

对于剪切模量和体积模量，可以推导出类似的递归关系。I0I_0 和 I1I_1 都是贝塞尔函数。根据起点的不同，递归关系可以朝两个方向发展。y→0y\to 0 意味着没有缺陷，整体是晶体的。y→∞y\to \infty 意味着任意多的缺陷，整体是流体的。递归关系在 y=0y=0 处有一个固定点，其中 ER/kBT=16πE_{R}/k_{B}T=16\pi。现在，ERE_{R} 是重整化值而不是裸值。

向错之间的相互作用

位错解离后，系统进入六角相。为了到达各向同性流体，位错 (5-7 对) 必须解离成由孤立的 5 重粒子和孤立的 7 重粒子组成的向错。可以使用与位错相互作用类似的论据来论证向错的相互作用。同样，由于拓扑的原因，向错只能成对产生。从能量 HcliH_{cli} 作为两个向错之间距离的函数出发，可以发现：

Hcli=−FA⋅π36∑k≠ls(r⃗k)⋅s(r⃗l)ln⁡Δr⃗k,la+Es⋅NcliH_{cli} = -\frac{F_A \cdot \pi}{36} \sum_{k \ne l} s(\vec{r}_k) \cdot s(\vec{r}_l) \ln \frac{\Delta \vec{r}_{k,l}}{a} + E_s \cdot N_{cli}

对数项再次占据主导地位。相互作用的符号决定了五重向错和七重向错的缠绕数 (winding number) 为 +π/3+\pi/3 和 −π/3-\pi/3，使得符号相反的荷相互吸引。总强度由抗扭曲刚度给出。耦合常数 FAF_A 按照液晶理论，称为 Frank 常数。EsE_{s} 是位错解离为两个向错的离散能量。两个向错之间距离的平方可以用与位错相同的方式计算，只有表示耦合常数的因子需要相应地改变。它在 FA⋅π36=4\frac {F_{A} \cdot \pi }{36}=4 处发散。如果存在未结合的向错，则系统会从六角相熔化为各向同性液体。这个相变温度 TiT_i 由弗兰克常数给出：

FAkBTi=72/π\frac{F_A}{k_B T_{i}} = 72/\pi

72/π72/\pi 也是一个普适常数。

临界指数

通常，Kosterlitz-Thouless 相变具有连续的临界点，可以通过无序和有序区域的自相似颗粒来表征。在二阶相变中，测量这些区域大小的相关长度代数地发散：

ξ=ξ0(T−TcTc)−ν\xi = \xi_0 \left(\frac{T-T_c}{T_c}\right)^{-\nu}

其中，TcT_c 是相变温度，ν\nu 是一个临界指数。Kosterlitz-Thouless 相变的另一个特殊特征是，二维空间中的平移和取向相关长度呈指数发散：

ξ=ξ0⋅exp⁡[(T−TcTc)−ν]\xi = \xi_0 \cdot \exp \left[ \left(\frac{T-T_c}{T_c}\right)^{-\nu} \right]

在六角相-晶体转变中，平移关联长度发散，相关长度的临界指数变为 νˉ=0,36963…\bar{\nu}=0{,}36963\dots

D. Nelson 和 B. Halperin 预测，Frank 常数在 TiT_i 处也以 νˉ\bar{\nu} 的指数形式发散。

在六角相-各向同性相变中，取向相关长度预计按 ν=0,5\nu=0{,}5 的指数形式发散。这个合理的值与平均场理论兼容，并意味着 Frank 常数的重整化是不必要的。由于在 TiT_i 处经常存在位错，因此不必考虑由位错引起的取向刚度的增强屏蔽效应。实验测量的临界指数为 ν=0,5±0,03\nu=0{,}5\pm 0{,}03。KTHNY 理论已经在实验和计算机模拟中得到验证。对于短程粒子相互作用 (硬盘模型)，模拟发现六角相-各向同性转变为弱一阶转变，略超出了 KTHNY 理论。