参考内容

正多面体

在几何学中，凸正多面体 (Regular Polyhedra)，又称为柏拉图立体 (Platonic Solids)，是一种非常规则的三维立体结构，其具有以下特征：

  • 每一个面都是全等的正多边形
  • 每个顶点都是相同数目的正多边形的公共顶点

正多面体有且仅有以下 5 种：

  • 正四面体
  • 立方体
  • 正八面体
  • 正十二面体
  • 正二十面体

几何学的证明

  • 在每一个顶点，至少有 3 个面相遇
  • 对于凸多面体，所有于一个顶点相遇的角加起来，它们的和小于

由以上两个条件可以推出

  • 对于正三角形，可能有 3、4、5 个面共顶点
    • 3：tetrahedron 正四面体
    • 4：octahedron 正八面体
    • 5：icosahedron 正二十面体
  • 对于正方形，可能有 3 个面共顶点：cube 立方体
  • 对于正五边形，可能有 3 个面共顶点：dodecahedron 正十二面体
  • n > 6 时，即使是最少的 3 个面共顶点也不行，所以不存在

所以我们只可能拥有 5 个柏拉图体，对应于上述 5 种可能的情形。

拓扑学的证明

有一个欧拉公式描述了凸多面体的棱数 (E)，顶点数 (V) 和面数 (F) 之间应该满足的关系

F + V − E = 2

设每个面有 s 条边 (即设为 s 边形)，有 m 个面共顶点

考虑到每两个面共用一条棱，可得

sF = 2E

考虑到 m 个面共顶点，也会产生 m 条棱，一条棱链接两个顶点，所以

mV = 2E

把这两个关系式带入欧拉公式，可得

2E/s + 2E/m − E = 2

变形为

1/s + 1/m − 1/2 = 1/E > 0

所以

1/s + 1/m > 1/2

由 s 与 m 的定义可知，它们不小于 3，所以可以列举出所有可能的情况

  • (3, 3)：tetrahedron 正四面体
  • (3, 4)：octahedron 正八面体
  • (3, 5)：icosahedron 正二十面体
  • (4, 3)：cube 立方体
  • (5, 3)：dodecahedron 正十二面体

镶嵌 (Tessellation)

一般多边形的平面镶嵌

任何的三角形都可以平面镶嵌。

任何的四边形都可以平面镶嵌。

正五边形不可以平面镶嵌，但是可以构造出可以平面镶嵌的五边形。

正多边形的平面镶嵌

正多边形的平面镶嵌很容易考虑，设 m 个正 n 边形可以完成平面镶嵌，需满足

化简可得

考虑到正整数的限制，n = 3, 4, 6

参考前面正多面体的表示，正多边形的平面镶嵌可以表示为有序数对 (p,q)

  • (3, 6) 正三角形镶嵌
  • (4, 4) 正方形镶嵌
  • (6, 3) 正六边形镶嵌

可以发现 (p,q) 满足

1/p + 1/q = 1/2

正多边形的球面镶嵌

球面镶嵌的情况，等价于形成正多面体，只有五种情况。

(p,q) 满足

1/p + 1/q > 1/2

正多边形的双曲镶嵌

(p,q) 满足

1/p + 1/q < 1/2

可以在双曲空间镶嵌 (Hyperbolic Tessellations)。

Hyperbolic Tessellations 在物理领域，也有相关的应用：[2303.15611] Converging Periodic Boundary Conditions and Detection of Topological Gaps on Regular Hyperbolic Tessellations (arxiv.org)

其中，不同空间内的周期性边界条件 (PBC) 的定义可以参考：Periodic boundary conditions on the pseudosphere - IOPscience