参考内容

主要观看了 维度：数学漫步 视频合集，后来发现了视频的主页 Dimensions Home (dimensions-math.org)。

其他参考内容是对视频中提到的一些概念的补充。

P1 二维空间

球面上的点的位置可以用经纬度来确定，所以球面是二维的。

拓扑中称球面为 。

球极投影：通过一个点，把球面上的点投影到平面上，球极被投影到无穷远点。

无穷远点可以定义为一个复数 ，规定其模长为无穷大，辐角任意——这和复数  的情况相同。

  • 保圆性：球极投影将平面上的圆 (直线) 变为球面上的圆 (直线)，反之亦然。
  • 保角性：球极投影前后，任一个角度的值都不变。

P2 拓扑与动力系统

  • 动力系统是研究动态变化的学科。
  • 拓扑学是研究形状的学科。
  • 算数是研究数字的学科。

三个学科可以互相启发。

P3 三维空间

如何向二维世界的人解释三维的物体？向他们展示三维物体在二维空间的投影，也就是逐渐变化的横截面。只有在二维世界的基础上，加入对于深度 (depth) 的理解，二维世界的人才有可能理解三维的物体。即使对于我们三维世界的人来说，由二维横截面重建三维物体也不是一个容易的过程。我们生活在三维世界中，想要理解四维空间的时候也会遇到相同的问题。

还有另一种把三维物体转化到二维空间的方法：把三维物体膨胀成球形，再做一个球极投影。这样的话，顶点、棱、面之间的关系就可以体现在二维世界中。

P4+P5 四维空间

直线上的点的位置，可以用一个实数描述，所以直线是一维的。平面上的点的位置，可以先建立一个直角坐标系，然后用两个实数描述，所以平面二维的。三维空间可以用三个实数描述。同理，四维空间可以用四个实数描述。这很对，但是没有什么启发性。

维空间中的单形，可以简单理解为，有 个点，不存在三点共线的情况，两两互相连接形成的形状。

  • 一维：线段
  • 二维：三角形
  • 三维：四面体
  • 四维：五胞体

三维空间包含了二维的 S2 球面。同理，我们可以研究四维空间中的三维球面 S3，为了确定三维球面上的一点，我们需要三个实数。

想要理解四维空间的多面体，可以把他们膨胀到 S3 上，然后做一个球极投影，投影到三维空间中。

四维空间与四维时空是不同的，可以从度规角度理解。

P6+P7 复数

从一维数轴上考虑，一个数字 相当于转动了 ， 的平方根可以定义为转动了

这个转动让数字离开了一维，进入了二维，称之为复平面。

复平面上的点可以通过一个球极投影与复球面上的点对应起来。

对复平面上的点做变换

是一个缩放

是一个旋转

是一个旋转+缩放

还有其他不直观的变换

有些变换不改变局部的“形状”，称之为 共形的 (conformal) 或 全纯的 (holomorphic)。

考虑变换 ，重复进行该变换，有些点始终处于某一范围之内并收敛于某一值，有些点最终会远离原点到无穷远处。

  • 从 开始迭代，不会延伸至无限大的，所有复数 的集合，称为 Mandelbrot 集。
  • 对于一个确定的复数 ，所有不会发散到无穷远处的点的集合，称之为该变换对应的 Julia 集。

P8+P9 纤维丛

考虑用两个复数表示一个四维空间。在四维空间中，所有距离原点 1 的点，是四维球面 S3。

在拓扑学中，霍普夫纤维化 (Hopf fibration，亦称霍普夫纤维丛) 是最早提出的纤维化，其中的纤维是圆圈 (1-球面，S1)，基空间是三维空间中的球面 (2-球面，S2)，而全空间是四维空间中的超球面 (3-球面，S3)。容易验证，它是非平凡的。即全空间 S3 与积空间 S1 S2 不是拓扑同构的。

环面 (torus) 是一个面包圈形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。在拓扑学上，环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面。

过环面上一点，可以画出四种圆——有两种很容易看出，类似于经纬度；另外两种是镜面对称的，与 Hopf fibration 一致。

考虑环面在四维空间中旋转，通过球极投影回到三维。环面的形态会发生改变，甚至可以内表面外翻。

P10 球极投影的证明

证明略，视频讲的很详细。