一个光滑但不解析的函数

参考内容#

讨论一个函数的解析性#

在 2026/01/14 上午，北京大学李新征教授来武汉大学做了个报告，在介绍李杨相变理论的过程中提到了一个关于函数解析性的例子：

f(x) = \begin{cases} 0 &, x \le 0 \\ e^{-1/x} & ,x > 0 \end{cases}

$f(x)$ 在 $x=0$ 处有任意阶导数，是光滑的。

但是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 展开恒为 $0$

1
g[n_] := D[Exp[-1/x], {x, n}];
2
Table[Limit[g[n], x -> 0, Direction -> "FromAbove"], {n, 0, 100}]

输出：

1
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
2
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
3
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
4
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \
5
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}

所以该级数不能在 $x>0$ 的邻域内表示 $f(x)=e^{-1/x}$ 。因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不是解析函数。

经过简单的搜索，我发现这是一个非常经典的例子，故不再深入展开，仅作简单记录。