e的近似值

e的近似值#

e \approx \frac{271801}{99990}, \quad \text{精确到小数点后9位}

e \approx (\pi^4 + \pi^5)^{1/6}, \quad \text{精确到小数点后7位}

Is this the Coolest Approximation for e? 提到了一种用到了 123456789 的近似

e \approx (1+9^{-4^{6 \times 7}})^{3^{2^{85}}}, \quad \text{精确到小数点后18457734525360901453873570位}

从 $e$ 的定义出发

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

上面近似中的大数字

9^{4^{6 \times 7}} = 9^{4^{42}} = (3^2)^{(2^2)^{42}} = 3^{2^{85}}

确实满足 $e$ 的定义式，近似很有道理，但是我想知道如何得到近似的精度。

判断这个数字精确到 $e$ 的小数点后几位#

A = \left(1+\frac{1}{N}\right)^N

\begin{align} \ln A &= N \ln \left( 1 + \frac{1}{N} \right) \\ &= N \left( \frac{1}{N} - \frac{1}{2 N^2} + \frac{1}{3 N^3} - \cdots \right) \\ &= 1 - \frac{1}{2 N} + \frac{1}{3 N^2} - \cdots \end{align}

A = e^{\ln A} = e^{1 - \frac{1}{2N} + O(\frac{1}{N^2})} = e^1 \cdot e^{-\frac{1}{2N}} \cdot e^{O(\frac{1}{N^2})}

再次利用 $e^x \approx 1+x$ 的近似：

A \approx e \left( 1 - \frac{1}{2N} \right) = e - \frac{e}{2N}

该近似值的绝对误差大约是 $\frac{e}{2N}$ 。

要确定“精确到小数点后多少位”，我们主要看误差项 $\frac{1}{N}$ 的数量级。有效位数 $D$ 大约等于 $N$ 的以10为底的对数。

D \approx \log_{10}(N)

我们可以使用 Python 的 decimal 模块进行高精度计算：

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import decimal
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3
# 设置精度，足以容纳计算过程
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decimal.getcontext().prec = 100
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power_of_2 = decimal.Decimal(2) ** 85
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log10_3 = decimal.Decimal(3).log10()
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total_digits = power_of_2 * log10_3
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10
print(f"{total_digits:.0f}")

可以得到

1
18457734525360901453873570

确实如此。

e的近似值#

判断这个数字精确到 eee 的小数点后几位#

判断这个数字精确到 $e$ 的小数点后几位#